“这题我一开始按具体的集合状态写了递推。”

并没有错，只是太重了。

盲盒里有若干种不同卡片。

每拿到一种新卡，拥有的集合状态就发生改变。

如果按已经拥有的具体集合去写状态空间，状态数量会呈指数级增长，很快就会变成一个灾难性的马尔可夫链转移矩阵，根本没法算，更没法手写证明。

“我也卡在这了。”

尹航在旁边插话道。

“我明明知道它在宏观上能压缩，因为全收集的期望最终肯定收敛，但就是找不到最干净的压法。

把每一步抽到什么卡的历史都背在身上走，实在太蠢了。”

江临看了一眼姚思雨的草稿纸，没有去改她的公式。

直接在空白处写下一行字。

还缺几种。

姚思雨看着那四个字，怔了一下：“你一点都不关心当前手里具体缺的是哪几种卡？”

“不关心。”

江临回答得很干脆。

“题目的设定里，每一种盲盒被抽到的概率是均匀分布的，这意味着卡片本身是高度对称的。”

江临用笔在盲盒两个字底下画了条线。

“题目让你求的是集齐所有卡片所需时间的期望值，不是让你描绘收集过程中每一个具体集合长什么样。

A，b，c和b，c，d在本质上是等价的。”

尹航的眼睛瞬间亮起，猛地一拍大腿，叫道：“我靠，所以不用管具体卡，直接按数量阶段来分解？

从缺k种卡，转移到缺k-1种卡？”

“嗯。”江临点头。

姚思雨低头，在纸上飞快地算了两步，之前的复杂矩阵被瞬间降维。

“既然概率均匀，那在缺k种卡的状态下，抽到一张新卡的概率就是 p_k=k/N。

所以在这个阶段停留的等待时间，就是一个参数为p_k的几何分布。

而它的期望……”

“几何分布的期望是概率的倒数。”江临接上了她的话，“所以这一阶段的期望步数就是N/k。”

江临说到这里，看了一眼姚思雨因为激动而写得越来越快的笔尖，适时地浇了一盆。

“不过在提交的时候还是不能直接从原题跳到这一步。”

姚思雨停下笔，有些不明所以地抬头看他。

“先花半页纸，严格说明为什么你的马尔可夫状态可以从2^N压缩到 N，也就是所谓的等价类划分。

否则阅卷教授会觉得你在偷换概念，用一个简单的模型套一个复杂的题。”

姚思雨认真地点头，准备继续往下写。

写到一半，像是想到了什么反例，眉头皱了起来。

“等等，如果不同盲盒的抽取概率不均匀呢？

比如有隐藏款，概率只有1%，其他是10%，那这个数量状态压缩就不成立了，缺A和缺隐藏款的期望完全不一样。”

“是的，所以你要在证明的开头，先浓墨重彩地写明对称性条件。

题目给定的均匀抽取不是一句为了让题面好看的装饰语，我们进行状态压缩，真正要算的是N个阶段期望。”

尹航听到这里，忍不住吐槽了一句：“你做题的时候，脑子里还一直想着阅卷人啊？”

“想着复核。”江临认为自己应该纠正他的用词。

“数学竞赛也叫复核？”
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